В квантовой механике каждой динамической переменной – координате, импульсу, угловому моменту, энергии ставится в соответствие линейный самосопряжённый (эрмитовый) оператор.

Все функциональные соотношения между величинами, известные из классической механики, в квантовой теории заменяются аналогичными соотношениями между операторами. Соответствие между динамическими переменными (физическими величинами) и квантово-механическими операторами постулируется в квантовой механике и являющегося обобщением огромного экспериментального материала.

1.3.1. Оператор координаты:

Как известно, в классической механике, положение частицы (системы N - частиц) в пространстве в данный момент времени определяется набором координат – векторных или скалярных величин. В основе векторной механики лежат законы Ньютона, основными здесь являются векторные величины – скорость, импульс, сила, момент импульса (угловой момент), момент силы и т.д. Здесь положение материальной точки задаётся радиус-вектором, определяющим её положение в пространстве относительно выбранного тела отсчёта и связанной с ним системы координат, т.е.

Если определены все векторы сил, действующих на частицу, то можно решить уравнения движения и построить траекторию. Если рассматривается движение N – частиц, то целесообразней (вне зависимости от того рассматривается движение связанных частиц или частицы свободны в своих движениях от всякого рода связей) оперировать не векторными, а скалярными величинами – так называемыми обобщёнными координатами, скоростями, импульсами и силами. В основе такого аналитического подхода лежит принцип наименьшего действия, который в аналитической механике играет роль второго закона Ньютона. Характерной чертой аналитического подхода является отсутствие жёсткой связи с какой-либо определённой системой координат. В квантовой механике, каждой наблюдаемой динамической переменной (физической величине) ставится в соответствие линейный самосопряжённый оператор. Тогда очевидно классическому набору координат будет соответствовать набор операторов вида: , действие которых на функцию (вектор) будет сводиться к умножению её на соответствующие координаты, т.е.

откуда следует, что:

1.3.2. Оператор импульса:

Классическое выражение для импульса по-определению имеет вид:

учитывая, что:

будем иметь соответственно:

Поскольку любой динамической переменной в квантовой механике ставится в соответствие линейный самосопряжённый оператор:

тогда соответственно выражение для импульса, выраженное через его проекции на три не эквивалентных направления в пространстве преобразуется к виду:

Значение оператора импульса и его компонент можно получить путём решения задачи на собственные значения оператора:

Для этого воспользуемся аналитическим выражением плоской волны де Бройля, полученным уже нами ранее:

учитывая также, что:

имеем таким образом:

Воспользовавшись уравнением плоской волны де Бройля, решим теперь задачу на собственные значения оператора импульса (его компоненты):

поскольку:

и функция находится по обе стороны операторного уравнения:

тогда величины амплитуды волны сократятся, поэтому:

таким образом, имеем:

поскольку оператор компоненты импульса (аналогично и ) – есть дифференциальный оператор, то его действие на волновую функцию (вектор), очевидно, будет сводиться к вычислению частной производной от функции вида:

Решая задачу на собственные значения оператора, приходим в выражению:

Таким образом, в ходе проделанных выше выкладок, мы пришли к выражению вида:

тогда соответственно:

учитывая, что:

после подстановки получим выражение вида:

Аналогичным образом можно получить выражения и для других компонент оператора импульса , т.е. имеем:

Учитывая выражение для оператора полного импульса:

и его компонент:

имеем соответственно:

Таким образом, оператор полного импульса является векторным оператором и результатом его действия на функцию (вектор) , будет выражение вида:

1.3.3. Оператор момента импульса (углового момента):

Рассмотрим классический случай абсолютно твёрдого тела, вращающегося около неподвижной оси ОО, проходящей через него. Разобьём это тело на малые объёмы с элементарными массами: находящимися на расстояниях: от оси вращения ОО. При вращении твёрдого тела относительно неподвижной оси ОО, отдельные его элементарные объёмы с массами , очевидно, опишут окружности различных радиусов и будут иметь различные линейные скорости: . Из кинематики вращательного движения известно, что:

Если материальная точка совершает вращательное движение, описывая окружность радиусом , то через малый промежуток времени она повернётся на угол от своего первоначального положения.

Линейная скорость материальной точки, в таком случае будет равняться соответственно:

поскольку:

Очевидно угловая скорость элементарных объёмов твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси ОО на расстояниях от неё будет равняться соответственно:

При изучении вращения твёрдого тела пользуются понятием момента инерции , который представляет собой физическую величину, равную сумме произведений масс - материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси вращения ОО, относительно которой совершается вращательное движение:

тогда кинетическую энергию вращающегося тела найдём как сумму кинетических энергий его элементарных объёмов:

поскольку:

тогда соответственно:

Сравнение формул для кинетической энергии поступательного и вращательного движений:

показывает, что момент инерции тела (системы) , характеризует меру инертности этого тела. Очевидно чем больше момент инерции, тем большую энергию необходимо затратить для достижения заданной скорости вращения рассматриваемого тела (системы) вокруг неподвижной оси вращения ОО. Не менее важным понятием в механике твёрдого тела является вектор момента сил , так по определению работа перемещения тела на расстояние равна:

поскольку как уже оговаривалось выше при вращательном движении:

тогда соответственно будем иметь:

учитывая тот факт, что:

тогда выражение для работы вращательного движения, выраженное через момент сил можно переписать в виде:

поскольку в общем случае:

тогда, следовательно:

Дифференцируя правую и левую части полученного выражения по , будем иметь соответственно:

учитывая, что:

получаем:

Момент силы (вращательный момент) действующий на тело, равен произведению его момента инерции на угловое ускорение . Полученное уравнение представляет собой уравнение динамики вращательного движения, аналогичное уравнению второго закона Ньютона:

здесь вместо силы выступает момент силы , роль массы , играет момент инерции . Исходя из приведенной выше аналогии между уравнениями для поступательного и вращательного движений, аналогом импульса (количества движения) будет являться момент импульса тела (угловой момент) . Моментом импульса материальной точки массой называется векторное произведение расстояния от оси вращения до этой точки, на её импульс (количество движения) ; имеем тогда:

Учитывая, что вектор определяется не только тройкой компонент:

но и явным разложением по ортам координатных осей:

будем иметь соответственно:

Компоненты полного момента импульса можно представить как алгебраические дополнения детерминанта, в котором первая строка – единичные векторы (орты), вторая строка – декартовые координаты и третья строка – компоненты импульса, тогда соответственно будем иметь выражение вида:

откуда следует, что:

Из формулы момента импульса как векторного произведения так же следует выражение вида:

или для системы частиц:

учитывая соотношения вида:

получим выражение для момента импульса системы материальных точек:

Таким образом, момент импульса твёрдого тела относительно неподвижной оси вращения, равен произведению момента инерции тела на угловую скорость. Момент импульса есть вектор, направленный по-оси вращения таким образом, чтобы с его конца видеть вращение происходящим по-часовой стрелке. Дифференцирование полученного выражения по времени, даёт ещё одно выражение динамики вращательного движения, эквивалентное уравнению второго закона Ньютона:

аналогичное уравнению второго закона Ньютона:

«Произведение момента импульса твёрдого тела относительно оси вращения ОО, равна моменту силы относительно той же оси вращения». Если мы имеем дело с замкнутой системой, то момент внешних сил равен нулю, тогда, следовательно:

Полученное выше уравнение для замкнутой системы, есть аналитическое выражение закона сохранения импульса. «Момент импульса замкнутой системы есть величина постоянная, т.е. не изменяется во времени». Итак, в ходе проделанных выше выкладок, мы пришли к выражениям, необходимых нам в дальнейших рассуждениях:

и таким образом имеем соответственно:

Поскольку в квантовой механике любой физической величине (динамической переменной) ставится в соответствие линейный самосопряжённый оператор:

тогда соответственно выражения:

преобразуются к виду:

поскольку по-определению:

а также учитывая, что:

Тогда соответственно для каждой из компонент углового момента будем иметь выражение вида:

на основании выражения вида:

1.3.4. Оператор квадрата момента импульса:

В классической механике квадрат момента импульса определяется выражением вида:

Поэтому соответствующий ему оператор будет иметь вид:

откуда следует соответственно, что:

1.3.5. Оператор кинетической энергии:

Классическое выражение для кинетической энергии имеет вид:

учитывая, что выражение для импульса:

имеем соответственно:

выражая импульс через его компоненты:

будем иметь соответственно:

Поскольку каждой динамической переменной (физической величине) в квантовой механике соответствует линейный самосопряжённый оператор, т.е.

тогда, следовательно:

учитывая выражения вида:

и таким образом, приходим к выражению для оператора кинетической энергии вида:

1.3.6. Оператор потенциальной энергии:

Оператор потенциальной энергии при описании кулоновского взаимодействия частиц с зарядами и имеет вид:

Он совпадает с аналогичным выражением соответствующей ему динамической переменной (физической величине) – потенциальной энергией .

1.3.7. Оператор полной энергии системы:

Классическое выражение для гамильтониана, известное из аналитической механики Гамильтона, имеет вид:

на основании соответствия между квантово-механическими операторами и динамическими переменными:

приходим к выражению оператора полной энергии системы – оператору Гамильтона:

учитывая выражения для операторов потенциальной и кинетической энергии:

приходим к выражению вида:

Операторы физических величин (динамических переменных) – координаты, импульса, углового момента, энергии являются линейными самосопряжёнными (эрмитовыми) операторами, следовательно, на основании соответствующей теоремы, их собственные значения являются действительными (вещественными) числами. Именно это обстоятельство и послужило основанием для использования операторов в квантовой механике, поскольку в результате физического эксперимента мы получаем именно действительные величины. В этом случае собственные функции оператора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Если мы имеем два различных оператора, то их собственные функции будут различными. Однако если операторы коммутируют между собой, то собственные функции одного оператора будут являться также собственными функциями другого оператора, т.е. системы собственных функций коммутирующих между собой операторов будут совпадать.

А.Ю. Севальников
Квант и время в современной физической парадигме

В 2000 году исполнилось 100 лет со дня рождения квантовой механики. Переход через рубеж столетий и веков - повод поговорить о времени, и в данном случае как раз в связи с юбилеем кванта.

Привязка понятия времени к идеям квантовой механики могла бы показаться искусственной и надуманной, если бы не одно обстоятельство. Мы до сих пор не понимаем смысла этой теории. «Можно с полной уверенностью говорить, что никто не понимает смысла квантовой механики», - утверждал Ричард Фейнман. Столкнувшись с микроявлениями, мы столкнулись с некоторой тайной, которую пытаемся разгадать уже целый век. Как не вспомнить слова великогоГераклита, что «природа любит таиться».

Квантовая механика полна парадоксов. Не отражают ли они саму суть этой теории? У нас есть совершенный математический аппарат, красивая математическая теория, выводы которой неизменно подтверждаются на опыте, и при этом отсутствуют сколь ни будь «ясные и отчетливые» представления о сути квантовых феноменов. Теория здесь выступает скорее символом, за которой скрыта иная реальность, проявляющаяся в неустранимых квантовых парадоксах. «Оракул не открывает и не скрывает, он намекает», как говорил тот же Гераклит. Так о чем же намекает квантовая механика?

У истоков ее создания стояли М.Планк и А.Эйнштейн. В центре внимания была проблема излучения и поглощения света, т.е. проблема становления в широком философском смысле, а следовательно, и движения. Эта проблема как таковая до сих пор не становилась в центр внимания. При дискуссиях вокруг квантовой механики рассматривались прежде всего проблемы вероятности и причинности, корпускулярно-волнового дуализма, проблемы измерения, нелокальности, участия сознания и целый ряд других, тесно связанных непосредственно с философией физики. Однако рискнем утверждать, именно проблема становления, древнейшая философская проблема и является основной проблемой квантовой механики.

Эта проблема всегда была тесно связана с теорией квантов, от проблемы излучения и поглощения света в работах Планка и Эйнштейна до последних экспериментов и интерпретаций квантовой механики, но всегда неявно, имплицитно, как некий скрытый подтекст. Фактически с проблемой становления тесно связаны практически все ее дискуссионные вопросы.

Так в настоящее время активно обсуждается т.н. «проблема измерения», которая в интерпретациях квантовой механики играет ключевую роль. Измерение резко меняет состояние квантовой системы, форму волновой функции Ψ(r,t). Например, если при измерении положения частицы мы получаем более или менее точное значение ее координаты, то волновой пакет, который представляла собой функция Ψ до измерения, «редуцируется» в менее протяженный волновой пакет, который может быть даже точечным, если измерение проведено очень точно. С этим и связано введение В.Гейзенбергом понятия «редукция пакета вероятностей», характеризующей такого рода резкое изменение волновой функции Ψ(r,t).

Редукция всегда приводит к новому состоянию, которое нельзя предвидеть заранее, поскольку до измерения мы можем предсказать лишь вероятности различных возможных вариантов.

Совсем иная ситуация в классике. Здесь если измерение выполняется достаточно аккуратно, то это является констатацией лишь «наличного состояния». Мы получаем истинное значение величины, которое объективно существует в момент измерения.

Различие классической механики и квантовой - это различие их объектов. В классике - это налично существующее состояние, в квантовом случае - это объект возникающий, становящийся, объект, принципиально изменяющий свое состояние. Более того, употребление понятия «объект» не совсем правомерно, мы имеем скорее актуализацию потенциального бытия, причем сам этот акт принципиально не описывается аппаратом квантовой механики. Редукция волновой функции всегда есть разрыв, скачок в состоянии.

Гейзенберг был одним из первых, кто стал утверждать, что квантовая механика возвращает нас к аристотелевскому понятию бытия в возможности. Такая точка зрения в квантовой теории возвращает нас к двухмодусной онтологической картине, где есть модус бытия в возможности и модус бытия действительного, т.е. мир осуществившегося.

Гейзенберг не развил последовательным образом этих идей. Это было осуществлено чуть позднее В.А.Фоком. Введенные им понятия «потенциальной возможности» и «осуществившегося» очень близки к аристотелевским понятиям «бытие в возможности» и «бытие в стадии завершения».

По Фоку, описываемое волновой функцией состояние системы является объективным в том смысле, что представляет объективную (независимую от наблюдателя) характеристику потенциальных возможностей того или иного акта взаимодействия микрообъекта с прибором. Такое «объективное состояние не является еще действительным, в том смысле, что для объекта в данном состоянии указанные потенциальные возможности еще не осуществились, переход от потенциальных возможностей к осуществившемуся происходит на заключительной стадии эксперимента». Статистическое распределение вероятностей, возникающее при измерении и отражает объективно существующие при данных условиях потенциальные возможности. Актуализация, «осуществление» по Фоку - не что иное как «становление», «изменение», или «движение» в широком философском смысле. Актуализация потенциального вносит необратимость, что тесно связано с существованием «стрелы времени».

Интересно, что Аристотель связывает непосредственно время с движением (см., напр., его «Физику» - «время не существует без изменения», 222b 30ff, кн. IV особенно, а также трактаты - «О небе», «О возникновении и уничтожении»). Не рассматривая пока подробно аристотелевское понимание времени, отметим, что у него это - прежде всего мера движения, а говоря шире - мера становления бытия.

В таком понимании время приобретает особый, выделенный статус, и если квантовая механика действительно указывает на существование бытия потенциального и его актуализацию, то в ней этот особый характер времени должен быть явным.

Как раз именно этот особый статус времени в квантовой механике хорошо известен и неоднократно отмечался разными авторами. Например, де Бройль в книге «Соотношения неопределенностей Гейзенберга и волновая интерпретация квантовой механики» пишет, что КМ «не устанавливает истинной симметрии между пространственными и временной переменной. Координаты x, y, z частицы считаются наблюдаемыми соответствующими неким операторам и имеющими в любом состоянии (описываемом волновой функцией Ψ) некоторое вероятностное распределение значений, тогда как время t по-прежнему считается вполне детерминированной величиной.

Это можно уточнить следующим образом. Представим себе галилеева наблюдателя, проводящего измерения. Он пользуется координатами x, y, z, t, наблюдая события в своей макроскопической системе отсчета. Переменные x, y, z, t - это числовые параметры, и именно эти числа входят в волновое уравнение и волновую функцию. Но каждой частице атомной физики соответствуют «наблюдаемые величины», которые являются координатами частицы. Связь между наблюдаемыми величинами x, y, z и пространственными координатами x, y, z галилеева наблюдателя носит статистический характер; каждой из наблюдаемых величин x, y, z в общем случае может соответствовать целый набор значений с некоторым распределением вероятностей. Что же касается времени, то в современной волновой механике нет наблюдаемой величины t, связанной с частицей. Есть лишь переменная t, одна из пространственно-временных переменных наблюдателя, определяемая по часам (существенно макроскопическим), которые имеются у этого наблюдателя».

То же самое утверждает и Эрвин Шредингер. «В КМ время выделено по сравнению с координатами. В отличие от всех остальных физических величин ему соответствует не оператор, не статистика, а лишь значение, точно считываемое, как в доброй старой классической механике, по привычным надежным часам. Выделенный характер времени делает квантовую механику в ее современной интерпретации от начала и до конца нерелятивистской теорией. Эта особенность КМ не устраняется при установлении чисто внешнего «равноправия» времени и координат, т.е. формальной инвариантности относительно преобразований Лоренца, с помощью надлежащих изменений математического аппарата.

Все утверждения КМ имеют следующий вид: если теперь, в момент времени t, провести некое измерение, то с вероятностью p его результат окажется равным a. Все статистики квантовая механика описывает как функции одного точного временного параметра… В КМ бессмысленно спрашивать, с какой вероятностью измерение будет произведено в интервал времени (t. t+ dt), т.к. время измерения я всегда могу выбрать по своему произволу».

Существуют и другие аргументы, показывающие выделенный характер времени, они известны и я не буду здесь на этом останавливаться. Существуют и попытки преодоления такой выделенности вплоть до такой, когда Дирак, Фок и Подольский предложили для обеспечения ковариантности уравнений т.н. «многовременную» теорию, когда каждой частице приписывается не только своя координата, но и свое время.

В упоминаемой выше книге де Бройль показывает, что и такая теория не может избежать особого статуса времени, и весьма характерно, что книгу он заканчивает следующей фразой: «Таким образом, мне представляется невозможным устранить особую роль, которую в квантовой теории играет времени подобная переменная».

На основе подобных рассуждений можно с уверенностью утверждать, что квантовая механика заставляет нас говорить о выделенности времени, о его особом статусе.

Существует и еще один аспект квантовой механики, никем до сих пор не рассматриваемый.

На мой взгляд, правомерно говорить о двух «временах». Одно из них это наше обычное время - конечное, однонаправленное, оно тесно связано с актуализацией и принадлежит миру осуществившегося. Другое - это существующее для модуса бытия в возможности. Его трудно охарактеризовать в наших обычных понятиях, так как на этом уровне нет понятий «позже» или «раньше». Принцип суперпозиций как раз показывает, что в потенции все возможности существуют одновременно. На этом уровне бытия невозможно введение пространственных понятий «здесь», «там», так как они появляются только после «развертывания» мира, в процессе которого время играет ключевую роль.

Проиллюстрировать такое утверждение легко на знаменитом мысленном двухщелевом эксперименте, который, по словам Ричарда Фейнмана, содержит всю тайну квантовой механики.

Направим луч света на пластину с двумя узкими щелями. Через них свет попадает на экран, помещенный за пластиной. Если бы свет состоял из обычных «классических» частиц, то на экране мы бы получили две светлые полосы. Вместо этого, как известно, наблюдается серия линий - интерференционная картина. Интерференция объясняется тем, что свет распространяется не просто как поток частиц-фотонов, а в виде волн.

Если же мы попытаемся проследить путь фотонов и разместим возле щелей детекторы, то в этом случае фотоны начинают проходить только через какую-либо одну щель и интерференционная картина при этом исчезает. «Создается впечатление, будто фотоны ведут себя как волны до тех пор, пока им «разрешают» вести себя подобно волнам, т.е. распространяться через пространство, не занимая какого-либо определенного положения. Однако в тот момент, когда кто-нибудь «спрашивает», где именно фотоны находятся - либо путем определения щели, через которую они прошли, либо заставляя их попадать на экран только через одну щель, - они мгновенно становятся частицами…

В экспериментах с двухщелевой пластиной выбор физиком измерительного прибора заставляет фотон «выбирать» между прохождением через обе щели одновременно подобно волне, либо только через одну щель подобно частице. Однако, что случилось бы, спросил Уилер, если экспериментатор, прежде чем выбрать способ наблюдения, мог бы как-нибудь подождать до тех пор, пока свет не пройдет через щели?».

Более ярко такой эксперимент с «отложенным выбором» можно продемонстрировать на излучении квазаров. Вместо пластины с двумя щелями «в таком эксперименте должна использоваться гравитационная линза - галактика или другой массивный объект, который может расщепить излучение квазара и затем сфокусировать его в направлении отдаленного наблюдателя, создавая два или более изображений квазара…

Выбор астронома - каким способом наблюдать фотоны от квазара в настоящее время - определяется тем, прошел ли каждый фотон по обоим путям или только по одному пути около гравитационной линзы миллиарды лет назад. В момент, когда фотоны долетали до «галактического светоделителя», они как бы должны были иметь нечто вроде предчувствия, указывающего им, каким образом себя вести, чтобы отвечать выбору, который будет сделан неродившимися существами на еще не существующей планете».

Как верно замечает Уилер, такие умозрительные построения возникают вследствие ошибочного предположения о том, что фотоны имеют какую-ту форму еще до того, как произведено измерение. На самом деле «квантовые явления сами по себе не имеют ни корпускулярного, ни волнового характера; их природа не определена вплоть до того момента, когда их начинают измерять».

Эксперименты, проведенные в 90-х годах, подтверждают такие «странные» выводы из квантовой теории. Квантовый объект действительно «не существует» до момента измерения, когда он получает актуальное бытие.

Один из аспектов таких экспериментов до сих пор практически не обсуждался исследователями, а именно - временной аспект. Ведь квантовые объекты получают свое существование не только в смысле своей пространственной локализации, но и начинают «быть» во времени. Допустив существование бытия потенциального, необходимо сделать вывод и о качественно ином характере существования на этом уровне бытия, в том числе и временном.

Как следует из принципа суперпозиции, различные квантовые состояния существуют «одновременно», т.е. квантовый объект изначально, до актуализации своего состояния, существует сразу во всех допустимых состояниях. При редукции волновой функции от «суперпонированного» состояния остается лишь одно из них. Наше обычное время тесно связано с такого рода «событиями», с процессом актуализации потенциального. Суть «стрелы времени» в таком понимании и состоит в том, что объекты приходят к бытию, «во-существляются», и именно с этим процессом и связана однонаправленность времени и его необратимость. Квантовая механика, уравнение Шредингера описывает грань между уровнем бытия возможного и бытия действительного, точнее, дает динамику, вероятность осуществления потенциального. Само же потенциальное нам не дано, квантовая механика лишь указывает на него. Наше знание пока принципиально неполно. Мы имеем аппарат, описывающий классический мир, то есть мир актуальный, явленный - это аппарат классической физики, включая теорию относительности. И у нас есть математический формализм квантовой механики, описывающий становление. Сам же формализм «угадан» (здесь стоит вспомнить, как было открыто уравнение Шредингера), он ниоткуда не выводится, что дает повод поставить вопрос о более полной теории. По нашему мнению, квантовая механика лишь подводит нас к грани бытия явленного, дает возможность приоткрытия тайны бытия и времени, не раскрывая и не имея такой возможности раскрыть ее полностью. Мы можем лишь сделать вывод о более сложной структуре времени, о его особом статусе.

Обоснованию такой точки зрения поможет и обращение к философской традиции. Как известно, еще Платон дает различение двух времен - собственно времени и вечности. Время и вечность у него несоизмеримы, время есть только движущееся подобие вечности. При сотворении демиургом Вселенной, как рассказывается об этом в «Тимее», демиург «замыслил сотворить некое движущееся подобие вечности; устроя небо, он вместе с ним творит для вечности, пребывающей в едином, вечный же образ, движущийся от числа к числу, который мы назвали временем».

Платоновская концепция - это первая попытка преодоления, синтеза двух подходов ко времени и миру. Одна их них - это парменидовская линия, дух школы элеатов, где отрицалось всякое движение, изменение, где истинно сущим признавалось лишь вечное бытие, другая - связанная с философией Гераклита, утверждавшего, что мир есть непрерывный процесс, своего рода горение или безостановочное течение.

Другой попыткой преодоления такой двойственности явилась философия Аристотеля. Введя понятие бытия потенциального, ему удалось впервые описать движение, учение о котором он излагает в тесной связи с учением о природе.

Опираясь на платоновскую дуалистическую схему «бытие-небытие», оказывается невозможным описать движение, необходимо «найти «лежащее в основе» третье, которое было бы посредником между противоположностями».

Введение Аристотелем понятия dynamis - «бытие в возможности» вызвано его неприятием метода Платона, исходившего из противоположностей «сущее-несущее». В результате такого подхода, пишет Аристотель, Платон отрезал себе путь к постижению изменения, составляющего главную черту природных явлений. «…Если взять тех, кто приписывает вещам бытие-небытие вместе, из их слов скорее получается, что все вещи находятся в покое, а не в движении: в самом деле, изменению уже не во что произойти, ибо все свойства имеются <уже> у всех вещей». [Метафизика, IV,5].

«Итак, противоположность бытие-небытие, говорит Аристотель, нужно опосредовать чем-то третьим: таким посредником между ними выступает у Аристотеляпонятие «бытия в возможности». Понятие возможности Аристотель вводит, таким образом, для того, чтобы можно было бы объяснить изменение, возникновение и гибель всего природного и тем самым избежать такой ситуации, которая сложилась в системе платоновского мышления: возникновение из не сущего - это случайное возникновение. И действительно, все в мире преходящих вещей для Платона непознаваемо, ибо носит случайный характер. Такой упрек по отношению к великому диалектику античности может показаться странным: ведь, как известно, именно диалектика рассматривает предметы с точки зрения изменения и развития, чего никак нельзя сказать о формально-логическом методе, создателем которого справедливо считают Аристотеля».

Однако этот упрек Аристотеля вполне оправдан. Действительно, парадоксальным образом в поле зрения Платона не попадает то изменение, которое происходит с чувственными вещами. Его диалектика рассматривает предмет в его изменении, но это, как справедливо замечает П.П.Гайденко, особый предмет - логический. У Аристотеля же субъект изменения из сферы логической переместился в сферу сущего, а сами логические формы перестали быть субъектом изменения. Сущее у Стагирита имеет двоякий характер: сущее в действительности и сущее в возможности, и поскольку оно имеет «двоякий характер, то все изменяется из существующего в возможности в существующее в действительности... А потому возникновение может совершаться не только - привходящим образом - из несуществующего, но также <можно сказать, что> все возникает из существующего, именно из того, что существует в возможности, но не существует в действительности» (Метафизика, XII, 2). Понятие dynamis имеет несколько различных значений, которые Аристотель выявляет в V книге «Метафизики». Два главных значения впоследствии получили и терминологическое различение в латинском языке - potentia и possibilitas, которые часто переводят как «способность» и «возможность» (ср.нем. способность - Vermцgen, и возможность - Mцglichkeit). «Названием возможности (dynamis) прежде всего обозначается начало движения или изменения, которое находится в другом или поскольку оно - другое, как, например, строительное искусство есть способность, которая не находится в том, что строится; а врачебное искусство, будучи некоторою способностью, может находиться в том, кто лечится, но не поскольку он лечится» (Метафизика, V, 12).

Время для Аристотеля тесно связано с движением (в самом широком смысле). «Невозможно, чтобы время существовало без движения». По Аристотелю, это очевидно, так как «если имеется время, очевидно, должно и существовать и движение, раз время есть некоторое свойство движения». Это означает, что не существует движения самого по себе, а только изменяющееся, становящееся бытие, и «время есть мера движения и нахождения [тела] в состоянии движения«. Отсюда становится ясно, что время с этим становится и мерой бытия, ведь «и для всего прочего нахождение во времени означает измерение его бытия временем».

Имеется существенное отличие между подходами Платона и Аристотеля в понимании времени. У Платона время и вечность несоизмеримы, они качественно различны. Время у него только движущееся подобие вечности (Тимей, 38а), ибо все возникшее не причастно вечности, имея начало, а следовательно, и конец, т.е. оно было и будет, тогда как вечность только есть.

Аристотель отрицает вечное существование вещей, и хотя он и вводит понятие вечности, это понятие является для него скорее бесконечной длительностью, вечного существования мира. Его логический анализ, сколь бы он гениальным ни являлся, не способен схватить существование качественно иного. Платоновский подход, хотя и не описывает движение в чувственном мире, оказывается в отношении времени более дальновидным. В дальнейшем концепции времени разрабатывались в рамках неоплатоновской школы и христианской метафизики. Не имея возможности входить в анализ этих учений, отметим только то общее, что их объединяет. Все они говорят о существовании двух времен - обычного времени, связанного с нашим миром, и вечности, эона (αιων), связанного с бытием сверхчувственным.

Возвращаясь к анализу квантовой механики, заметим, что волновая функция определяется на конфигурационном пространстве системы, а сама функция Ψ является вектором бесконечномерного гильбертова пространства. Если волновая функция не просто абстрактный математический конструкт, а имеет некоторый референт в бытии, то необходимо сделать вывод о ее «инобытийности», непринадлежности к актуальному четырехмерному пространству-времени. Этот же тезис демонстрирует и хорошо известная «ненаблюдаемость» волновой функции, и ее вполне ощутимая реальность, например в эффекте Ааронова-Бома.

Одновременно с аристотелевским заключением, что время есть мера бытия, можно сделать вывод, что квантовая механика позволяет, по крайней мере, поставить вопрос о множественности времени. Здесь современная наука, по образному выражению В.П.Визгина, «вступает в плодотворную «идейную перекличку» с античным наследием». Действительно, уже «теория относительности Эйнштейна ближе к представлениям древних о пространстве и времени как свойств бытия, неотделимых от порядка вещей и порядка их движений, чем к ньютоновским представлениям об абсолютных пространстве и времени, мыслимых как совершенно индифферентные к вещам и их движениям, как не зависимые от них».

Время тесно связано с «событием». «В мире, где есть одна «действительность», где «возможности» не существует, не существует и времени, время есть трудно предсказуемое создание и исчезновение, переоформление «пакета возможностей» того или иного существования». Но сам «пакет возможностей» бытийствует, как мы хотели показать, в условиях иного времени. Данное утверждение является некой «метафизической гипотезой», однако, если принять во внимание, что квантовая механика становится в последнее время «экспериментальной метафизикой», то можно поставить вопрос об опытном обнаружении таких «надвременных» структур, связанных с волновой функцией системы. На наличие таких иновременных структур уже косвенно указывают эксперименты «с отложенным выбором» и мысленный эксперимент Уилера с «галактической линзой», где демонстрируется возможная «отсрочка» эксперимента во времени. Насколько же такая гипотеза является верной, покажет само время.

Примечания

Фок В.А. Об интерпретации квантовой механики. М., 1957. С. 12.

Л. де Бройль. Соотношения неопределенностей Гейзенберга и волновая интерпретация квантовой механики. М., 1986. С. 141-142.

Шредингер Э. Специальная теория относительности и квантовая механика // Эйнштейновский сборник. 1982-1983. М., 1983. С. 265.

Л. де Бройль. Указ. произведение. С. 324.

Хорган Дж. Квантовая философия // В мире науки. 1992. № 9-10. С. 73.

Хорган Дж. Там же. С. 73.

Там же. С. 74.

Платон. Тимей, 38а.

Там же. 37 с.

Гайденко П.П. Эволюция понятия науки. М., 1980. С. 280.

Там же. С. 282.

Аристотель. О возникновении и уничтожении, 337 а 23f.

Аристотель . Физика, 251b 27ff.

Там же, 221а.

Там же, 221а 9f.

К характеристике неоплатонической концепции см., к примеру: Лосев А.Ф. Бытие. Имя. Космос. М., 1993. С. 414-436; о понимании времени в христианском богословии: Лосский В.Н. Очерк мистического богословия Восточной Церкви. М., 1991. Гл. V.

Визгин В.П. Этюд времени // Филос. исслед. М., 1999. № 3. С. 149.

Там же. С. 149.

Там же. С. 157.

Horgan, John. Quanten-Philosophie // Quantenphilosophie. Heidelberg, 1996. S. 130-139.

Очевидная неприменимость классической физики, механики и электродинамики, для описания микрообъектов, атомов, молекул, электронов и излучения. Проблема равновесного теплового излучения. Проблема устойчивости вещества. Дискретность в микромире. Спектральные линии. Опыты Франка и Герца.

Дискретность в классической физике. Аналогия с задачами на собственные значения. Колебания струны, волновое уравнение, граничные условия. Необходимость волнового описания микрочастиц. Экспериментальные указания на волновые свойства микрообъектов. Дифракция электронов. Опыты Дэвиссона и Джермера.

Волновая и геометрическая оптика. Описание волновых полей в пределе малых длин волн как потоков частиц. Идея Де-Бройля о построении квантовой или волновой механики.

Элементы классической механики: принцип наименьшего действия, функция Лагранжа, действие как функция координат, запись принципа наименьшего действия через функцию Гамильтона. Уравнение Гамильтона-Якоби . Укороченное действие. Действие свободно движущейся частицы

Волновое уравнение в классической физике. Монохроматические волны. Уравнение Гельмгольца.

Восстановление волнового уравнения для свободной частицы по дисперсионному соотношению. Уравнение Шредингера для свободной нерелятивистской частицы.

2. Физические величины в классике и квантовой механике.

Необходимость введения физических величин как операторов, на примере операторов импульса и Гамильтона. Интерпретация волновой функции. Амплитуда вероятности. Принцип суперпозиции. Сложение амплитуд.

Мысленный эксперимент с двумя щелями. Амплитуда перехода. Амплитуда перехода как функция Грина уравнения Шредингера. Интерференция амплитуд. Аналогия с принципом Гюйгенса-Френеля . Композиция амплитуд.

Распределение вероятностей для координаты и для импульса. Переход в k - представление. Преобразование Фурье как разложение по собственным функциям оператора импульса. Интерпретация собственных значений операторов как наблюдаемых физических величин.

Дельта-функция как ядро единичного оператора. Различные представления

дельта-функции . Вычисление гауссовых интегралов. Немного математики. Воспоминания о математической физике и новый взгляд.

3. Общая теория операторов физических величин.

Задачи на собственные значения. Квантовые числа. Что значит« физическая величина имеет определенное значение». Дискретный и сплошной спектры.

Эрмитовость-определение . Действительность средних и собственных значений. Ортогональность и нормированность. Волновые функции как вектора. Скалярное произведение функций.

Разложение функций по собственным функциям оператора. Базисные функции и разложения. Вычисление коэффициентов. Операторы как матрицы. Непрерывные и дискретные индексы. Представления операторов умножения и дифференцирования как матриц.

Обозначения Дирака. Абстрактные вектора и абстрактные операторы. Представления и переход к различным базисам.

4. Измерение в квантовой механике.

Макроскопичность и классичность измерительного прибора. Измерение — «разложение» по собственным функциям прибора.

5. Уравнение Шредингера для свободной нерелятивистской частицы.

Решение методом Фурье. Волновой пакет. Принцип неопределенности. Некоммутативность операторов импульса и координаты. От каких переменных зависит волновая функция. Понятие полного набора. Отсутствие траектории.

Коммутируемость операторов и существование общих собственных функций.

Необходимость и достаточность. Еще раз о переходе к различным базисам.

Преобразования операторов и векторов состояний. Унитарные операторы — операторы сохраняющие ортонормированность.

Нестационарное уравнение Шредингера. Оператор эволюции. Функция Грина. Функции от операторов. Построение оператора эволюции путем разложения по собственным функциям стационарного уравнения. Оператор производной физической величины по времени.

6. Представление Гейзенберга.

Уравнения Гейзенберга. Уравнение Шредингера для связанных и асимптотически свободных систем.

7. Запутанные и независимые состояния.

Условие существования волновой функции у подсистемы. Чистые и смешанные состояния подсистемы. Описание смешанных состояний с помощью матрицы плотности. Правило вычисления средних. Эволюция матрицы плотности. Уравнение фон-Неймана .

8. Одномерное движение.

Одномерное уравнение Шредингера. Общие теоремы. Сплошной и дискретный спектры. Решение задач с кусочно-постоянными потенциалами. Граничные условия на скачках потенциала. Поиск дискретных уровней и собственных функций в прямоугольных потенциалах. Осцилляционная теорема. Вариационный принцип. Пример мелкой ямы. Существование связанного состояние в яме любой глубины в размерности 1 и 2. Одномерная задача рассеяния. Четные потенциалы. Оператор четности. Закон сохранения четности — принципиально квантовый ЗС не имеющий аналога в классике.

9. Точнорешаемые потенциалы.

Постоянная сила. Гармонический осциллятор. Потенциал Морса. Потенциал Эпштейна. Безотражательные потенциалы. Упоминание об обратной задаче теории рассеяния. Метод Лапласа. Гипергеометрическая и вырожденная гипергеометрическая функции. Поиск решения в виде ряда. Аналитическое продолжение. Аналитическая теория дифференциальных уравнений. Трехмерное уравнение Шредингера. Центрально-симметричный потенциал. Изотропия.

10. Гармонический осциллятор.

Подход операторов рождения и уничтожения. A la Feinman, «Статистическая физика». Вычисление собственных функций, нормировок и матричных элементов. Уравнение Эрмита. Метод Лапласа. Поиск решения в виде ряда. Нахождение собственных значений из условия обрыва ряда.

11. Оператор орбитального момента.

Преобразование вращения. Определение. Коммутационные соотношения. Собственные функции и числа. Явные выражения для операторов орбитального момента в сферических координатах. Вывод собственных чисел и функций операторов. Матричные элементы операторов орбитального момента. Симметрия по отношению к преобразованию инверсии. Истинные и псевдо скаляры, векторы и тензоры. Четность различных сферических гармоник. Рекуррентное выражение для собственных функций момента.

12. Движение в центральном поле.

Общие свойства. Центробежная энергия. Нормировка и ортогональность. Свободное движение в сферических координатах.

Сферические функции Бесселя и их выражения через элементарные функции.

Задача о трехмерной прямоугольной яме. Критическая глубина для существования связанного состояния. Сферический гармонический осциллятор. Решение в декартовой и сферической системе координат. Собственные функции. Вырожденная гипергеометрическая функция. Уравнение. Решение в виде степенного ряда. Квантование — следствие конечности ряда.

13. Кулоново поле.

Безразмерные переменные, кулонова система единиц. Решение в сферической системе координат. Дискретный спектр. Выражение для собственных значений энергии. Связь главного и радиального квантовых чисел. Подсчет степени вырождения. Наличие дополнительного вырождения.

14. Теория возмущений.

Стационарная теория возмущений. Общая теория. Операторная геометрическая прогрессия. Стационарная теория возмущений. Поправки к частоте для слабо ангармонического осциллятора. Стационарная теория возмущений в случае вырождения. Секулярное уравнение. Задача об электроне в поле двух одинаковых ядер. Правильные функции нулевого приближения. Интегралы перекрытия. Нестационарная теория возмущений. Общая теория. Резонансный случай. Золотое правило Ферми.

15. Квазиклассическое приближение.

Базисные решения. Локальная точность. Линейный слой. Функция Эйри. ВКБ решение. Метод Цвана. Задача о потенциальной яме. Правила квантования Бора-Зоммерфельда . ВКБ приближение. Задача о подбарьерном прохождении. Задача о надбарьерном отражении.

16. Спин.

Многокомпонентная волновая функция. Аналог поляризации электромагнитных волн. Опыт Штерна-Герлаха . Спиновая переменная. Инфинитиземальное преобразование вращения и оператор спина.

Коммутационные соотношения. Собственные числа и собственные функции операторов спина. Матричные элементы. Спин 1/2. Матрицы Паули. Коммутационные и антикоммутационные соотношения. Алгебра матриц Паули. Вычисление произвольной функции от спинового скаляра. Оператор конечных вращений. Вывод с помощью матричного дифференциального уравнения. Преобразование к линейной по s форме. Матрицы U x,y,z . Определение интенсивностей пучков в опытах Штерна-Герлаха при вращении анализатора.

17. Движение электрона в магнитном поле.

Уравнение Паули. Гиромагнитное отношение. Роль потенциалов в квантовой механике. Калибровочная инвариантность. Эффект Бома-Аронова . Коммутационные соотношения для скоростей. Движение электрона в однородном магнитном поле. Калибровка Ландау. Решение уравнения. Уровни Ландау. Оператор координаты ведущего центра. Коммутационные соотношения для него.

1. Л.Д.Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая механика, т. 3, Москва, «Наука», 1989
2. Л.Шифф, Квантовая механика, Москва, ИЛ, 1967
3. А. Мессиа, Квантовая механика, т.1,2, М. Наука, 1978
4. А. С. Давыдов, Квантовая механика, М. Наука, 1973
5. Д.И.Блохинцев, Основы квантовой механики, Москва, «Наука», 1976.
6. В.Г. Левич, Ю. А. Вдовин, В. А. Мямлин, Курс теоретической физики, т.2
7. Л.И. Мандельштам, Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике.

Дополнительная литература

1. Р. Фейнман, Лейтон, Сэндс, Фейнмановские лекции по физике (ФЛФ), т. 3,8,9
2. Э. Ферми, Квантовая механика, М. Мир, 1968
3. Г. Бете, Квантовая механика, М. Мир, 1965
4. П. Дирак, Принципы квантовой механики, М. Наука, 1979
5. В. Балашов, В. Долинов, Курс квантовой механики, изд. МГУ, Москва

Задачники

1. А.М. Галицкий, Б. М. Карнаков, В. И. Коган, Задачи по квантовой механике. Москва, «Наука», 1981.
2. М.Ш. Гольдман, В. Л. Кривченков, М. Наука, 1968
3. З. Флюгге, Задачи по квантовой механике, т. 1,2 М. Мир, 1974

Вопросы для контроля

1. Докажите, что уравнение Шредингера сохраняет плотность вероятности.
2. Докажите, что собственные функции УШ инфинитного движения дважды вырождены.
3. Докажите, что собственные функции УШ свободного движения, соответствующие разным импульсам ортогональны.
4. Докажите, что собственные функции дискретного спектра невырождены.
5. Докажите, что собственные функции дискретного спектра УШ с четной ямой либо четны, либо нечетны.
6. Найдите собственную функцию УШ с линейным потенциалом.
7. Определите уровни энергии в симметричной прямоугольной яме конечной глубины.
8. Выведите граничные условия и определите коэффициент отражения от дельта-потенциала .
9. Напишите уравнение для собственных функций гармонического осциллятора и приведите его к безразмерному виду.
10. Найдите собственную функцию основного состояния гармонического осциллятора. Отнормируйте её.
11. Определите операторы рождения и уничтожения. Напишите гамильтониан гармонического осциллятора. Опишите их свойства.
12. Решая уравнение в координатном представлении найдите собственную функцию основного состояния.
13. Используя операторы a , a + вычислите матричные элементы операторов x 2 , p 2 в базисе собственных функций гармонического осциллятора.
14. Как преобразуются координаты при инфинитезимальном (бесконечно малом) вращении.
15. Связь оператора момента и вращения. Определение оператора момента. Выведите коммутационные соотношения между компонентами момента Выведите коммутационные соотношения между проекциями момента и координатами Выведите коммутационные соотношения между проекциями момента и импульсами l 2 ,l_z представлении.
16. Собственные функции момента в сферических координатах. Напишите уравнение и его решение методом разделения переменных. Выражение через присоединенные полиномы Лежандра.
17. Четность состояния, оператор инверсии. Скаляры и псевдоскаляры, полярные и аксиальные векторы. Примеры.
18. Преобразование инверсии в сферических координатах. Связь четности с орбитальным моментом.
19. Сведите задачу двух тел к задаче движения одной частицы в центральном поле.
20. Разделите переменные УШ для центрального поля и напишите общее решение.
21. Напишите условие ортонормированности. Сколько квантовых чисел и каких образуют полный набор.
22. Определите уровни энергии частицы с моментом l, равным 0, движущейся в сферической прямоугольной яме конечной глубины. Определите минимальную глубину ямы, необходимую для существования связанного состояния.
23. Определите уровни энергии и волновые функции сферического гармонического осциллятора путем разделения переменных в декартовых координатах. Каковы квантовые числа. Определите степень вырождения уровней.
24. Напишите УШ для движения в кулоновом поле и приведите его к безразмерному виду. Атомная система единиц.
25. Определите асимптотику радиальной функции движения в кулоновом поле вблизи центра.
26. Какова степень вырождения уровней при движении в кулоновом поле.
27. Выведите формулу для первой поправки к волновой функции, соответствующей невырожденной энергии
28. Выведите формулу для первой и второй поправок к энергии.
29. Используя теорию возмущений найдите первую поправку к частоте слабо ангармонического осциллятора из-за возмущения. Используйте операторы рождения и уничтожения
30. Выведите формулу для поправки к энергии в случае m кратного вырождения этого уровня. Секулярное уравнение.
31. Выведите формулу для поправки к энергии в случае 2 кратного вырождения этого уровня. Определите правильные волновые функции нулевого приближения.
32. Получите нестационарное уравнение Шредингера в представлении собственных функций невозмущенного гамильтониана.
33. Выведите формулу для первой поправки к волновой функции системы при произвольном нестационарном возмущении
34. Выведите формулу для первой поправки к волновой функции системы при гармоническом нерезонансном возмущении.
35. Выведите формулу для вероятности перехода при резонансном воздействии.
36. Золотое правило Ферми.
37. Выведите формулу главного члена квазиклассического асимптотического разложения.
38. Напишите локальные условия применимости квазиклассического приближения.
39. Напишите квазиклассическое решение для УШ, описывающее движение в однородном поле.
40. Напишите квазиклассическое решение для УШ, описывающее движение в однородном поле слева и справа от точки поворота.
41. Методом Цвана выведите граничные условия для перехода из полубесконечной классически запрещенной области в классически разрешенную. Каков набег фазы при отражении?
42. В квазиклассическом приближении определите уровни энергии в потенциальной яме. Правило квантование Бора-Зоммерфельда .
43. С помощью правила квантования Бора-Зоммерфельда определите уровни энергии гармонического осциллятора. Сравнить с точным решением.
44. Методом Цвана выведите граничные условия для перехода из полубесконечной классически разрешенной области в классически запрещенную.
45. Понятие спина. Спиновая переменная. Аналог поляризации электромагнитных волн. Опыт Штерна-Герлаха .
46. Инфинитиземальное преобразование вращения и оператор спина. На какие переменные действует оператор спина.
47. Напишите коммутационные соотношения для операторов спина
48. Докажите, что оператор s 2 коммутирует с операторами проекций спина.
49. Что такое s 2 , s z представление.
50. Напишите матрицы Паули.
51. Напишите матрицу s 2 .
52. Напишите собственные функции операторов s x , y , z для s=1/2 в s 2 , s z представлении.
53. Прямым вычислением докажите антикоммутативность матриц Паули.
54. Напишите матрицы конечных вращений U x , y , z
55. На прибор Штерна-Герлаха с собственной осью z падает пучок, поляризованный по x. Что на выходе?
56. На прибор Штерна-Герлаха вдоль оси x падает пучок, поляризованный по z. Что на выходе, если ось прибора z" повернута относительно оси x на угол j?
57. Напишите УШ бесспиновой заряженной частицы в магнитном поле
58. Напишите УШ заряженной частица со спином 1/2 в магнитном поле.
59. Опишите связь спина и магнитного момента частицы. Что такое гиромагнитное отношение, магнетон Бора, ядерный магнетон. Чему равно гиромагнитное отношение электрона.
60. Роль потенциалов в квантовой механике. Калибровочная инвариантность.
61. Удлиненные производные.
62. Напишите выражения для операторов компонент скоростей и получите коммутационные соотношения для них при конечном магнитном поле.
63. Напишите уравнения движения электрона в однородном магнитном поле в калибровке Ландау.
64. Приведите УШ электрона в магнитном поле к безразмерному виду. Магнитная длина.
65. Выведите волновые функции и значения энергии электрона в магнитном поле.
66. Какими квантовыми числами характеризуется состояние. Уровни Ландау.

Используя известный квантово-механический подход, в котором единицы информации являются основными строительными блоками, Ллойд провел несколько лет, изучая эволюцию частиц с точки зрения перетасовки единиц (1) и нулей (0). Он выяснил, что поскольку частицы все больше запутываются друг с другом, информация, которая их описывала (1 - для спина по часовой стрелке, и 0 - против часовой, например), перейдет на описание системы запутанных частиц в целом. Как если бы частицы постепенно потеряли свою индивидуальную автономию и стали пешками коллективного состояния. В этот момент, как обнаружил Ллойд, частицы переходят в состояние равновесия, их состояния перестают меняться, словно чашка с кофе остывает до комнатной температуры.

«Что происходит на самом деле? Вещи становятся более взаимосвязаны. Стрела времени - это стрела роста корреляций».

Идея, представленная в докторской диссертации 1988 года, не была услышана. Когда ученый отправил ее в журнал, ему сказали, что «в этой работе нет физики». Теория квантовой информации «была глубоко непопулярна» в то время, говорит Ллойд, и вопросы о стреле времени «оставались психам и нобелевским лауреатам, которые ушли на пенсию».

«Я был чертовски близок к тому, чтобы стать водителем такси», - рассказал Ллойд.

С тех пор, достижения в области квантовых выислений превратили теорию квантовой информации в одну из самых активных областей физики. В настоящее время Ллойд остается профессором Массачусетского технологического института, признан одним из основателей дисциплины, и его забытые идеи всплывают в более уверенной форме в головах физиков Бристоля. Новые доказательства являются более общими, говорят ученые, и применимы к любой квантовой системе.

«Когда Ллойд высказал идею в своей диссертации, мир был не готов, - говорит Ренато Реннер, глава Института теоретической физики в ETH Zurich. - Никто не понимал его. Иногда нужно, чтобы идеи приходили в нужное время».

В 2009 году доказательство группы бристольских физиков вызвало отклик у квантовых информационных теоретиков, открывая новые способы применения их методов. Оно показало, что по мере того, как объекты взаимодействуют со своим окружением - как частицы в чашке кофе взаимодействуют с воздухом, например, - информация об их свойствах «утекает и смазывается со средой», поясняет Попеску. Эта локальная потеря информации приводит к тому, что состояние кофе приходит к стагнации, даже если чистое состояние всей комнаты продолжает развиваться. За исключением редких случайных флуктуаций, говорит ученый, «его состояние перестает меняться со временем».

Получается, холодная чашка с кофе не может спонтанно нагреться. В принципе, по мере эволюции чистого состояния комнаты, кофе может внезапно «стать не смешанным» с воздухом и войти в чистое состояние. Но кофе доступно настолько больше смешанных состояний, чем чистых, что это практически никогда не произойдет - скорее вселенная закончится, чем мы сможем это засвидетельствовать. Эта статистическая маловероятность делает стрелу времени необратимой.

«По сути, запутанность открывает для вас огромное пространство, - комментирует Попеску. - Представьте, что вы находитесь в парке, перед вами ворота. Как только вы войдете в них, вы попадете в огромное пространство и потеряетесь в нем. К воротам тоже не вернетесь никогда».

В новой истории стрелы времени информация теряется в процессе квантовой запутанности, а не из-за субъективного отсутствия человеческих знаний, что приводит к уравновешиванию чашки кофе и комнаты. Комната в конце концов уравновешивается с внешней средой, а среда - еще более медленно - дрейфует к равновесию с остальной частью вселенной. Гиганты термодинамики 19 века рассматривали этот процесс как постепенное рассеяние энергии, которое увеличивает общую энтропию, или хаос, вселенной. Сегодня же, Ллойд, Попеску и другие в этой сфере видят стрелу времени по-другому. По их мнению, информация становится все более диффузной, но никогда не исчезает полностью. Хотя локально энтропия растет, общая энтропия вселенной остается постоянной и нулевой.

«В целом вселенная находится в чистом состоянии, - говорит Ллойд. - Но отдельные ее части, будучи запутанными с остальной частью вселенной, остаются смешанными».

Один из аспектов стрелы времени остается нерешенным.

«В этих работах нет ничего, что объяснит, почему вы начинаете с ворот, - говорит Попеску, возвращаясь к аналогии с парком. - Другими словами, они не объясняют, почему изначальное состояние вселенной было далеко от равновесия». Ученый намекает на то, что этот вопрос относится .

Несмотря на недавний прогресс в расчете времени уравновешивания, новый подход до сих пор не может стать инструментом для расчета термодинамических свойств конкретных вещей, вроде кофе, стекла или экзотических состояний материи.

«Дело в том, что нужно найти критерии, при которых вещи ведут себя как оконное стекло или чашка чая, - говорит Реннер. - Я думаю, что увижу новые работы в этом направлении, но впереди еще много работы».

Некоторые исследователи выразили сомнение в том, что этот абстрактный подход к термодинамике когда-нибудь сможет точно объяснить, как ведут себя конкретные наблюдаемые объекты. Но концептуальные достижения и новый математический формализм уже помогают исследователям задаваться теоретическими вопросами из области термодинамики, например о фундаментальных пределах квантовых компьютеров и даже о конечной судьбе Вселенной.

«Мы все больше и больше думаем о том, что можно сделать с квантовыми машинами, - говорит Пол Скржипчик из Института фотонных наук в Барселоне. - Допустим, система еще не находится в состоянии равновесия и мы хотим заставить ее работать. Сколько полезной работы мы сможем извлечь? Как я смогу вмешаться, чтобы сделать что-нибудь интересное?».

Шон Кэрролл, теоретик-космолог из Калифорнийского технологического института, применяет новый формализм в своей последней работе о стреле времени в космологии. «Мне интересна самая что ни на есть долгосрочная судьба космологического пространства-времени. В этой ситуации мы еще не знаем всех нужных законов физики, поэтому есть смысл обратиться к абстрактному уровню, и здесь, я думаю, мне поможет этот квантово-механический подход».

Двадцать шесть лет спустя грандиозного провала идеи Ллойда о стреле времени, он рад быть свидетелем ее подъема и пытается применить идеи последней работы к парадоксу информации, попадающей в черную дыру.

«Думаю, сейчас все же заговорят о том, что в этой идее есть физика».

А философия ­- и подавно.

По мнению ученых, наша способность помнить прошлое, но не будущее, другое проявление стрелы времени, также может рассматриваться как возрастание корреляций между взаимодействующими частицами. Когда читаешь что-то с листа бумаги, мозг коррелирует с информацией через фотоны, которые достигают глаз. Только с этого момента вы будете способны вспомнить, что написано на бумаге. Как отмечает Ллойд:

«Настоящее может быть определено как процесс связывания (или установления корреляций) с нашим окружением».

Фоном для устойчивого роста запутанностей по всей вселенной является, конечно, само время. Физики подчеркивают, что несмотря на большие успехи в понимании того, как происходят изменения во времени, они ни на йоту не приблизились к пониманию природы самого времени или почему оно отличается от трех других измерений пространства. Попеску называет эту загадку «одной из величайших непоняток в физике».

«Мы можем обсудить факт того, что час назад наш мозг был в состоянии, которое коррелировало с меньшим числом вещей, - говорит он. - Но наше восприятие того, что время идет - это совсем другое дело. Скорее всего, нам понадобится революция в физике, которая откроет нам эту тайну».

Кофе остывает, здания разрушаются, яйца разбиваются, а звезды гаснут во вселенной, которая как будто обречена на переход к серому однообразию, известному как тепловое равновесие. Астроном и философ сэр Артур Эддингтон (Arthur Eddington) в 1927 году заявил, что постепенное рассеивание энергии является доказательством необратимости «стрелы времени».

Но к недоумению целых поколений физиков, понятие стрелы времени не соответствует основным законам физики, которые во времени действуют как в прямом направлении, так и в противоположном. Согласно этим законам, если бы кто-то знал пути всех частиц во вселенной и обратил их вспять, энергия стала бы накапливаться, а не рассеиваться: холодный кофе начал бы нагреваться, здания подниматься из руин, а солнечный свет направился бы обратно к Солнцу.

«В классической физике у нас были сложности, — говорит профессор Санду Попеску (Sandu Popescu), преподающий физику в британском Бристольском университете. — Если бы я знал больше, мог бы я обратить ход события вспять и собрать воедино все молекулы разбитого яйца?»

Конечно, говорит он, стрела времени не управляется человеческим незнанием. И все же, с момента зарождения термодинамики в 1850-е годы единственным известным способом расчета распространения энергии была формула статистического распределения неизвестных траекторий частиц и демонстрация того, что с течением времени незнание смазывает картину вещей.

Теперь физики вскрывают более фундаментальный источник стрелы времени. Энергия рассеивается, и объекты приходят в равновесие, говорят они, потому что элементарные частицы при взаимодействии спутываются. Этот странный эффект они назвали «квантовым смешением», или запутанностью.

«Наконец мы можем понять, почему чашка кофе в комнате приходит в равновесие с ней, — говорит квантовый физик из Бристоля Тони Шорт (Tony Short). — Возникает смешение между состоянием чашки кофе и состоянием комнаты».

Попеску, Шорт и их коллеги Ной Линден (Noah Linden) и Андреас Уинтер (Andreas Winter) сообщили о своем открытии в журнале Physical Review E в 2009 году, заявив, что предметы приходят в равновесие, или в состояние равномерного распределения энергии, в течение неопределенно долгого времени за счет квантово-механического смешения с окружающей средой. Похожее открытие несколькими месяцами раньше сделал Питер Рейман (Peter Reimann) из Билефельдского университета в Германии, опубликовав свои выводы в Physical Review Letters. Шорт и коллеги подкрепили свои доводы в 2012 году, показав, что запутанность вызывает равновесие за конечное время. А в работе, опубликованной в феврале на сайте arXiv. org, две отдельные группы предприняли следующий шаг, рассчитав, что большинство физических систем быстро уравновешиваются за время, прямо пропорциональное их размеру. «Чтобы показать, что это применимо к нашему реальному физическому миру, процессы должны происходить в разумных временных рамках», — говорит Шорт.

Тенденция кофе (и всего остального) приходить в равновесие «очень интуитивна», считает Николас Бруннер (Nicolas Brunner), работающий квантовым физиком в Женевском университете. «Но при объяснении причин этого мы впервые имеем твердые основания с учетом микроскопической теории».

© РИА Новости, Владимир Родионов

Если новое направление исследований верно, то история стрелы времени начинается с квантово-механической идеи о том, что в своей основе природа изначально неопределенна. Элементарная частица лишена конкретных физических свойств, и она определяется только вероятностями нахождения в определенных состояниях. К примеру, в определенный момент частица может с 50-процентной вероятностью вращаться по часовой стрелке и с 50-процентной против часовой. Экспериментально проверенная теорема северо-ирландского физика Джона Белла (John Bell) гласит, что нет «истинного» состояния частиц; вероятности это единственное, что можно использовать для его описания.

Квантовая неопределенность неизбежно приводит к смешению — предполагаемому источнику стрелы времени.

Когда две частицы взаимодействуют, их уже нельзя описывать отдельными, независимо развивающимися вероятностями под названием «чистые состояния». Вместо этого, они становятся перепутанными компонентами более сложного распределения вероятностей, которые описывают две частицы вместе. Они могут, например, указать на то, что частицы вращаются в противоположных направлениях. Система в целом находится в чистом состоянии, но состояние каждой частицы «смешано» с состоянием другой частицы. Обе частицы могут двигаться на расстоянии нескольких световых лет друг от друга, но вращение одной частицы будет коррелировать с другим. Альберт Эйнштен хорошо описал это как «жуткое действие на расстоянии».

«Запутанность это в некотором смысле суть квантовой механики», или законов, регулирующих взаимодействия в субатомных масштабах, говорит Бруннер. Это явление лежит в основе квантовых вычислений, квантовой криптографии и квантовой телепортации.

Идея того, что смешением можно объяснить стрелу времени, впервые 30 лет назад пришла в голову Сету Ллойду (Seth Lloyd), когда он был 23-летним выпускником факультета философии Кембриджского университета со степенью Гарварда по физике. Ллойд понял, что квантовая неопределенность и ее распространение по мере того, как частицы становятся все более перепутанными, может прийти на смену неуверенности (или незнанию) человека в старых классических доказательствах и стать истинным источником стрелы времени.

Используя малоизвестный квантово-механический подход, в котором единицы информации являются основными строительными кирпичиками, Ллойд несколько лет изучал эволюцию частиц с точки зрения перетасовки единиц и нулей. Он выяснил, что по мере того, как частицы все больше смешиваются друг с другом, информация, которая их описывала (например, 1 для вращения по часовой стрелке, и 0 — против часовой), перейдет на описание системы запутанных частиц в целом. Частицы как будто постепенно теряли свою самостоятельность и становились пешками коллективного состояния. Со временем вся информация переходит в эти коллективные скопления, а у отдельных частиц ее не остается вообще. В этот момент, как обнаружил Ллойд, частицы переходят в состояние равновесия, и их состояния перестают меняться, словно чашка кофе остывает до комнатной температуры.

«Что происходит на самом деле? Вещи становятся более взаимосвязаннями. Стрела времени — это стрела роста корреляций».

Эта идея, изложенная в докторской диссертации Ллойда в 1988 году, не была услышана. Когда ученый отправил статью об этом в редакцию журнала, ему сказали, что «в этой работе нет физики». Теория квантовой информации «была глубоко непопулярна» в то время, говорит Ллойд, и вопросы о стреле времени «были уделом психов и тронувшихся умом нобелевских лауреатов».

«Я был чертовски близок к тому, чтобы стать водителем такси», — сказал он.

С тех пор достижения в области квантовых вычислений превратили теорию квантовой информации в одну из самых активных областей физики. В настоящее время Ллойд работает профессором Массачусетского технологического института, он признан одним из основателей этой дисциплины, и его забытые идеи возрождаются усилиями физиков из Бристоля. Новые доказательства являются более общими, говорят ученые, и применимы к любой квантовой системе.

«Когда Ллойд высказал идею в своей диссертации, мир был не готов к ней, — говорит руководитель Института теоретической физики при Швейцарской высшей технической школе Цюриха Ренато Реннер (Renato Renner). — Никто не понимал его. Иногда нужно, чтобы идеи приходили в нужное время».

В 2009 году доказательства коллектива бристольских физиков нашли отклик у теоретиков квантовой информации, которые открыли новые способы применения их методов. Они показали, что по мере того, как объекты взаимодействуют с окружающей средой — как частицы в чашке кофе взаимодействуют с воздухом — информация об их свойствах «утекает и растекается по этой среде», поясняет Попеску. Эта локальная потеря информации приводит к тому, что состояние кофе остается неизменным, даже если чистое состояние всей комнаты продолжает меняться. За исключением редких случайных флуктуаций, говорит ученый, «его состояние перестает меняться во времени».

Получается, холодная чашка кофе не может спонтанно нагреться. В принципе, по мере эволюции чистого состояния комнаты, кофе может внезапно выделиться из воздуха комнаты и вернуться в чистое состояние. Но смешанных состояний гораздо больше, чем чистых, и практически кофе никогда не сможет вернуться в чистое состояние. Чтобы увидеть это, нам придется жить дольше вселенной. Эта статистическая маловероятность делает стрелу времени необратимой. «По сути дела, смешение открывает для нас огромное пространство, — говорит Попеску. — Представьте, что вы находитесь в парке, перед вами ворота. Как только вы входите в них, вы выходите из равновесия, попадаете в огромное пространство и теряетесь в нем. К воротам вы не вернетесь никогда».

В новой истории стрелы времени информация теряется в процессе квантовой запутанности, а не из-за субъективного отсутствия человеческих знаний о том, что приводит в равновесие чашку кофе и комнату. Комната в конце концов уравновешивается с внешней средой, а среда еще медленнее движется к равновесию с остальной вселенной. Гиганты термодинамики 19-го века рассматривали этот процесс как постепенное рассеяние энергии, которое увеличивает общую энтропию, или хаос вселенной. Сегодня же Ллойд, Попеску и другие специалисты из этой области рассматривают стрелу времени по-другому. По их мнению, информация становится все более диффузной, но никогда не исчезает полностью. Хотя локально энтропия растет, общая энтропия вселенной остается постоянной и нулевой.

«В целом вселенная находится в чистом состоянии, — говорит Ллойд. — Но отдельные ее части, переплетаясь с остальной частью вселенной, приходят в смешанное состояние».

Но одна загадка стрелы времени остается неразгаданной. «В этих работах нет ничего, что объясняет, почему вы начинаете с ворот, говорит Попеску, возвращаясь к аналогии с парком. — Другими словами, они не объясняют, почему изначальное состояние вселенной было далеко от равновесия». Ученый намекает на то, что этот вопрос относится к природе Большого взрыва.

Несмотря на недавние успехи в расчетах времени уравновешивания, новый подход до сих пор не может стать инструментом для расчета термодинамических свойств конкретных вещей типа кофе, стекла или необычных состояний материи. (Некоторые специалисты по традиционной термодинамике говорят, что очень мало знают о новом подходе). «Дело в том, что нужно найти критерии для того, какие вещи ведут себя как оконное стекло, а какие как чашка чая, — говорит Реннер. — Я думаю, что увижу новые работы в этом направлении, но сделать предстоит еще очень много».

Некоторые исследователи выразили сомнение в том, что этот абстрактный подход к термодинамике когда-нибудь сможет точно объяснить, как ведут себя конкретные наблюдаемые объекты. Но концептуальные достижения и новая совокупность математических формул уже помогают исследователям задаваться теоретическими вопросами из области термодинамики, например о фундаментальных ограничениях квантовых компьютеров и даже о конечной судьбе Вселенной.

«Мы все больше и больше думаем о том, что можно сделать с квантовыми машинами, — говорит Пол Скржипчик (Paul Skrzypczyk) из Института фотонных наук в Барселоне. — Допустим, система еще не находится в состоянии равновесия, и мы хотим заставить ее работать. Сколько полезной работы мы сможем извлечь? Как я смогу вмешаться, чтобы сделать что-нибудь интересное?»

Контекст

Квантовый компьютер в человеческом мозге?

Futura-Sciences 29.01.2014

Как наноспутник может добраться до звезды

Wired Magazine 17.04.2016

Красота как секретное оружие физики

Nautilus 25.01.2016
Теоретик космологии из Калифорнийского технологического института Шон Кэрролл (Sean Carroll) применяет новые формулы в своей последней работе о стреле времени в космологии. «Мне интересна самая что ни на есть долгосрочная судьба космологического пространства-времени, — говорит Кэрролл, написавший книгу From Eternity to Here: The Quest for the Ultimate Theory of Time (Из бесконечности сюда. Поиски конечной теории времени). — В этой ситуации мы еще не знаем всех нужных законов физики, поэтому есть смысл обратиться к абстрактному уровню, и здесь, как мне кажется, нам поможет этот квантово-механический подход».

Спустя двадцать шесть лет после провала грандиозной идеи Ллойда о стреле времени он с удовольствием наблюдает за ее возрождением и пытается применить идеи последней работы к парадоксу информации, попадающей в черную дыру. «Думаю, сейчас все же заговорят о том, что в этой идее есть физика», — заявляет он.

А философия и подавно.

По мнению ученых, наша способность помнить прошлое, но не будущее, что является сбивающим с толку проявлением стрелы времени, также может рассматриваться как возрастание корреляций между взаимодействующими частицами. Когда читаешь записку на листе бумаги, мозг коррелирует с информацией через фотоны, которые попадают в ваши глаза. Только с этого момента вы можете запомнить, что написано на бумаге. Как отмечает Ллойд, «настоящее можно охарактеризовать как процесс установления корреляций с нашим окружением».

Фоном для устойчивого роста переплетений во всей вселенной является, конечно, само время. Физики подчеркивают, что несмотря на большие успехи в понимании того, как происходят изменения во времени, они ни на шаг не приблизились к пониманию природы самого времени или того, почему оно отличается от трех других измерений пространства (в концептуальном плане и в уравнениях квантовой механики). Попеску называет эту загадку «одним из величайших неизвестных в физике».

«Мы можем обсуждать то, что час назад наш мозг был в состоянии, которое коррелировало с меньшим числом вещей, — говорит он. — Но наше восприятие того, что время идет — это совсем другое дело. Скорее всего, нам понадобится новая революция в физике, которая расскажет об этом».

Материалы ИноСМИ содержат оценки исключительно зарубежных СМИ и не отражают позицию редакции ИноСМИ.