Энергия магнитного поля при наличии магнетиков
Пусть все рассматриваемое пространство заполняет однородный магнетик. В нем индукция магнитного поля, которое создают токи, изменяется в $\mu $ раз в сравнении с индукцией в вакууме. Во столько же изменяются магнитные потоки $Ф$ и $dФ.$ Элементарная работа, выполняемая внешним источником против электродвижущей силы индукции, будет равна:
Допустим, что магнитное поле создается двумя контурами. Если $L_{11}$ - индуктивность первого контура, $L_{22}$ - индуктивность второго контура, то можно записать, что:
Поток ${\Phi }_{12}$, который пересекает контур (1), создаваемый током во втором контуре равен:
где $L_{12}$- постоянная, взаимная индуктивность первого и второго контуров. Для второго контура имеем:
Из формул (2) - (4) следует, что если изменяются магнитные потоки в магнетике, то индукции контура и взаимные индукции увеличиваются в $\mu $ раз. Это значит, что взаимные индукции контуров равны:
При этом магнитные потоки в магнитике могут быть выражены как:
где $r_{21}=r_{12}$ - расстояния между элементами контуров с током $d\overrightarrow{l_1}и\ d\overrightarrow{l_2}$.
Формула же записанная для энергии магнитного поля , которое создано двумя контурами с токами для вакуума и магнетика (при отсутствии ферромагнетика) по форме не изменяется:
Если магнитное поле образуется $N$ контурами, то его энергию можно вычислить как:
Рисунок 1.
при $i=k$ коэффициент $L_{ik}$ называется индуктивностью контура ${\rm I}$, при $i\ne k$, этот же коэффициент называют взаимной индуктивностью ${\rm I}$-го и k-го контуров. Эти коэффициенты определяются формулами при $i\ne k$:
где $d\overrightarrow{l_i},d\overrightarrow{l_k}$ - элементы длины контуров ${\rm I}$-го и $k$-го. $r_{ik}-$расстояние между ними. При этом $L_{ik}=L_{ki}$. В результате получается, что энергия магнитного поля токов, которые текут в неограниченном однородном магнетике, изменяется в $\mu $ раз в сравнении с энергией этих же токов в вакууме.
Объемная плотность энергии магнитного поля
Магнитное поле, которое создают токи, распределено по всему пространству. Допустим, что магнитное поле создается одиночным контуром с током. Магнитная энергия поля в таком случае может быть представлена как:
где поток магнитной индукции можно выразить как:
где $L$ контур тока, $S$ - поверхность, которая натянута на контур $L$, $\overrightarrow{A}\ $- векторный потенциал, магнитного поля, которое создается током $I$. Замкнутый ток взаимодействует со своим магнитным полем. Каждый элемент тока $Id\overrightarrow{l}$ создает в пространстве собственное магнитное поле, с которым взаимодействуют другие элементы тока.
Подставим (11) в формулу (10), получим:
Проведем переход от линейных токов к объемным токам с помощью соотношения:
Из выражения (10) получим:
Используем известные формулы:
Преобразуем выражение (12), получим:
По теореме Остроградского - Гаусса имеем:
В том случае, если точки рассматриваются в конечной области пространства, на больших расстояниях от этой области $A\sim \frac{1}{r}$, $H\sim \frac{1}{r^2}$, то есть подынтегральное выражение убывает пропорционально $\frac{1}{r^3}$. Поверхность при этом растет пропорционально $r^2$, получаем, что интеграл уменьшается $\sim \frac{1}{r}.$ Получается, что при $r\to \infty $, второй интеграл в выражении (15) равен нулю, тогда полная энергия выражается формулой:
Тогда, можно сказать, что объемная плотность энергии магнитного поля в пространстве равна:
Энергия магнетика во внешнем поле
Если имеется фиксированное распределение токов в пространстве, то энергия магнетика в магнитном поле равна:
где $\overrightarrow{J}$ - намагниченность магнетика, $\overrightarrow{B_0}$ - магнитное поле в свободном пространстве.
Пример 1
Задание: Вычислите магнитную проницаемость железа, если в поле с индукцией $B=1Тл$ плотность энергии магнитного поля в веществе $200 \frac{Дж}{м^3}$.
Решение:
Из формулы (1.1) выразим магнитную проницаемость, получим:
\[\mu =\frac{1}{2}\frac{B^2}{w_m{\mu }_0}\left(1.2\right).\]
Проведем вычисления:
\[\mu =\frac{1}{2}\cdot \frac{1^2}{200\cdot 1,26\cdot {10}^{-6}}=2\cdot {10}^3.\]
Ответ: $\mu =2\cdot {10}^3.$
Пример 2
Задание: Определите, как изменится объемная плотность энергии магнитного поля, если индукция магнитного поля тороида, который имеет ферромагнитный сердечник, увеличилась от $B_1=0,9\ Тл\ до\ B_2=1,2\ Тл$. Зависимость $B(H)$ представлена графиком на рис.2.
Рисунок 2.
Решение:
В качестве основания для решения задачи используем формулу
Запишем формулу (2.1) для двух состояний магнитного поля и найдем отношение $\frac{w_{2m}}{w_{1m}}$:
\[\frac{w_{2m}}{w_{1m}}=\frac{1}{2}H_2B_2\cdot 2\frac{1}{H_1B_1}=\frac{H_2B_2}{H_1B_1}\left(2.2\right).\]
По графику находим, что при $B_1=1\ Тл\ H_1=400\frac{A}{м}\ до\ B_2=1,2\ Тл\ H_2=800\frac{A}{м}\ $.
Следовательно, искомое отношение равно:
\[\frac{w_{2m}}{w_{1m}}=\frac{1,2\cdot 800}{1\cdot 400}=2,4.\]
Ответ: $\frac{w_{2m}}{w_{1m}}=2,4.\ $
Магнитное поле обладает энергией. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим электрическую цепь, содержащую соленоид, имеющий индуктивность и сопротивление (рис. 6.6). При размыкании ключа К ток не сразу падает до нуля. В течение некоторого времени он продолжает течь, поддерживаемый возникающей в катушке электродвижущей силой самоиндукции, и при этом на сопротивлении выделяется тепло, согласно закону Джоуля–Ленца. Возникает вопрос, за счет каких запасов энергии выделяется тепло, ведь цепь разомкнута, и внешний источник отключен.
При уменьшении тока в цепи уменьшается и индукция магнитного поля. Поэтому можно, по-видимому, говорить об энергии электрического тока или энергии магнитного поля, создаваемого током. В случае постоянных токов нельзя однозначно определить, где локализована эта энергия. Ответ на этот вопрос можно дать, изучая переменные магнитные поля или электромагнитные волны. В электромагнитных волнах переменные магнитные поля могут существовать без токов, их поддерживающих. Так как электромагнитные волны переносят энергию, можно заключить, что энергия сосредоточена в магнитном поле.
Найдем величину энергии магнитного поля. Из закона сохранения энергии следует, что, когда ток прекратится, магнитное поле исчезнет, и вся энергия магнитного поля перейдет в тепловую энергию. Согласно закону Джоуля–Ленца, за малое время на сопротивлении R выделится количество теплоты . По закону Ома ток I равен
С учетом этого равенства выделившееся количество теплоты можно записать в виде:
в этом выражении так как ток убывает, а выделяющаяся теплота . Зависимость магнитного потока от силы тока можно представить графически (рис. 6.7). Очевидно, что количество теплоты, выделившейся за время , равно первоначальному запасу магнитной энергии и определяется площадью треугольника, составленного прямой , прямой и осью . Эта площадь равна . Таким образом, энергия магнитного поля, создаваемого током I в катушке с индуктивностью L , равна
| . |
Сравните выражение для магнитной энергии, запасенной в катушке индуктивности, с выражением для энергии электрического поля, запасенной в конденсаторе:
Энергия электрического поля в конденсаторе пропорциональна квадрату заряда, энергия магнитного поля, запасенная в катушке индуктивности, пропорциональна квадрату силы тока, то есть зависит от скорости движения зарядов. Напомним, что магнитное поле создается движущимися зарядами.
Работа индукционного тока сопровождается нагреванием проводником за счет энергии магнитного поля, которое не может исчезнуть бесследно. Соленоид, таким образом, служит своеобразным резервуаром энергии, значение которой вычисляется по формуле
Так как магнитное поле внутри соленоида является однородным, то плотность энергии магнитного поля, запасенной в соленоиде, равна энергии, деленной на объем соленоида:
Пример
Определим энергию магнитного поля соленоида. Обычный лабораторный соленоид длиной 10 см , площадью поперечного сечения 75 см 2 и числом витков, намотанных в несколько слоев, равным 3 400, обладает индуктивностью . Сопротивление такого соленоида 50 Ом . При использовании 6-вольтной батарейки установится ток . Запасенная в соленоиде магнитная энергия равна Это небольшая энергия. Однако эта энергия пропорциональна квадрату силы тока и может достигать больших значений. Так, например, в электромагнитах, используемых для исследований, магнитная индукция при максимальном токе составляет обычно от 1 до 1,5 Тл . Магнитная проницаемость железа достигает значений в сотни и тысячи единиц, поэтому в электромагните большая часть энергии сосредоточена в зазоре между полюсами электромагнита. Если объем зазора составляет 0,2 ,то запасенная энергия
/ = 1,8 Дж.
Это уже немалая энергия! Если, без специальных мер предосторожности, быстро разомкнуть цепь электромагнита, то при мгновенная мощность составит Р = 1,8 МВт.
Взаимная индукция
Аналогично, если в контуре 2 течет ток силой , он создает магнитный поток через контур 1:
| . | (6.7) |
Коэффициенты пропорциональности и называют взаимной индуктивностью контуров. Из (6.6) и (6.7) видно, что взаимная индуктивность численно равна магнитному потоку через один из контуров при единичном токе в другом контуре. Коэффициенты и зависят от формы, размеров, взаимного расположения контуров, а также от магнитных свойств среды, окружающей контуры.
Можно показать, что при отсутствии ферромагнетиков коэффициенты и одинаковы: . Это свойство называется теоремой взаимности. Теорема взаимности позволяет не делать различия между и , а говорить просто о взаимной индуктивности двух контуров. Согласно теореме взаимности, если в контурах текут одинаковые токи, то магнитный поток через контур 1, созданный током в контуре 2, равен магнитному потоку через контур 2, созданному током в контуре 1.
Если контуры неподвижны и ферромагнетиков вблизи них нет, то при изменении силы тока в одном из контуров в другом контуре возникает электродвижущая сила индукции. Это явление называется явлением взаимной индукции. Согласно закону электромагнитной индукции электродвижущие силы индукции, возникающие в контурах 1 и 2, равны соответственно
При данном направлении тока будет зависеть от выбора положительной нормали к поверхности, ограниченной контуром 2. Положительные направления для токов (и электродвижущих сил) в обоих контурах можно выбрать произвольно. При заданном направлении тока направление положительной нормали к поверхности контура определяется правилом правого винта. Если эти направления выбраны, величину нужно считать положительной, когда при положительных токах магнитные потоки взаимной индукции через контуры оказываются также положительными, то есть совпадают по знаку с потоками самоиндукции.
Другими словами, , если при положительных токах в обоих контурах они «подмагничивают» друг друга, в противном случае . В частных случаях можно заранее так установить положительные направления обхода контуров, чтобы получить желательный нам знак величины .
Пример
При отсутствии устойчивого сигнала сотовой связи телефон становится более чувствительным к электромагнитным помехам. Происходит это из-за изменения сигнала вследствие явления взаимоиндукции. Пример такого эффекта – ухудшение приема телефона при приближении к телевизору или радиоприемнику.
6.6. Примеры на применение явления
электромагнитной индукции
Самоиндукция
Каждый проводник, по которому протекает эл.ток, находится в собственном магнитном поле.
При изменении силы тока в проводнике меняется м.поле, т.е. изменяется магнитный поток, создаваемый этим током. Изменение магнитного потока ведет в возникновению вихревого эл.поля и в цепи появляется ЭДС индукции.
Это явление называется самоиндукцией.
Самоиндукция - явление возникновения ЭДС индукции в эл.цепи в результате изменения силы тока.
Возникающая при этом ЭДС называется ЭДС самоиндукции
Проявление явления самоиндукции
Замыкание цепи
При замыкании в эл.цепи нарастает ток, что вызывает в катушке увеличение магнитного потока, возникает вихревое эл.поле, направленное против тока, т.е в катушке возникает ЭДС самоиндукции, препятствующая нарастанию тока в цепи (вихревое поле тормозит электроны).
В результате Л1 загорается позже, чем Л2.
Размыкание цепи
При размыкании эл.цепи ток убывает, возникает уменьшение м.потока в катушке, возникает вихревое эл.поле, направленное как ток (стремящееся сохранить прежнюю силу тока) , т.е. в катушке возникает ЭДС самоиндукции, поддерживающая ток в цепи.
В результате Л при выключении ярко вспыхивает.
В электротехнике явление самоиндукции проявляется при замыкании цепи (электрический ток нарастает постепенно) и при размыкании цепи (электрический ток пропадает не сразу).
ИНДУКТИВНОСТЬ
От чего зависит ЭДС самоиндукции?
Электрический ток создает собственное магнитное поле. Магнитный поток через контур пропорционален индукции магнитного поля (Ф ~ B), индукция пропорциональна силе тока в проводнике
(B ~ I), следовательно магнитный поток пропорционален силе тока (Ф ~ I).
ЭДС самоиндукции зависит от скорости изменения силы тока в эл.цепи, от свойств проводника (размеров и формы) и от относительной магнитной проницаемости среды, в которой находится проводник.
Физическая величина, показывающая зависимость ЭДС самоиндукции от размеров и формы проводника и от среды, в которой находится проводник, называется коэффициентом самоиндукции или индуктивностью.
Индуктивность - физическая величина, численно равная ЭДС самоиндукции, возникающей в контуре при изменении силы тока на 1Ампер за 1 секунду.
Также индуктивность можно рассчитать по формуле:
где Ф - магнитный поток через контур, I - сила тока в контуре.
Единицы измерения индуктивности в системе СИ:
Индуктивность катушки зависит от:
числа витков, размеров и формы катушки и от относительной магнитной проницаемости среды (возможен сердечник).
ЭДС САМОИНДУКЦИИ
ЭДС самоиндукции препятствует нарастанию силы тока при включении цепи и убыванию силы тока при размыкании цепи.
ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ТОКА
Вокруг проводника с током существует магнитное поле, которое обладает энергией.
Откуда она берется? Источник тока, включенный в эл.цепь, обладает запасом энергии.
В момент замыкания эл.цепи источник тока расходует часть своей энергии на преодоление действия возникающей ЭДС самоиндукции. Эта часть энергии, называемая собственной энергией тока, и идет на образование магнитного поля.
Энергия магнитного поля равна собственной энергии тока.
Собственная энергия тока численно равна работе, которую должен совершить источник тока для преодоления ЭДС самоиндукции, чтобы создать ток в цепи.
Энергия магнитного поля, созданного током, прямо пропорциональна квадрату силы тока.
Куда пропадает энергия магнитного поля после прекращения тока? - выделяется (при размыкании цепи с достаточно большой силой тока возможно возникновение искры или дуги)
ВОПРОСЫ К ПРОВЕРОЧНОЙ РАБОТЕ
по теме "Электромагнитная индукция"
1. Перечислить 6 способов получения индукционного тока.
2. Явление электромагнитной индукции (определение).
3. Правило Ленца.
4. Магнитный поток (определение, чертеж, формула, входящие величины, их ед. измерения).
5. Закон электромагнитной индукции (определение, формула).
6. Свойства вихревого электрического поля.
7. ЭДС индукции проводника, движущегося в однородном магнитном поле (причина появления, чертеж, формула, входящие величины, их ед. измерения).
8. Самоиндукция (кратко проявление в электротехнике, определение).
9. ЭДС самоиндукции (ее действие и формула).
10. Индуктивность (определение, формулы, ед. измерения).
11. Энергия магнитного поля тока (формула, откуда появляется энергия м. поля тока, куда пропадает при прекращении тока).
Энергия катушки индуктивности (W) - это энергия магнитного поля, порождаемого электрическим током I, текущим по проводу данной катушки. Главная характеристика катушки - ее индуктивность L, то есть способность создавать магнитное поле при похождении по ее проводу электрического тока. У каждой катушки индуктивность и форма свои, поэтому и магнитное поле для каждой катушки будет отличаться величиной и направлением, хотя ток может быть абсолютно одинаковым.
В зависимости от геометрии конкретной катушки, от магнитных свойств среды внутри и около нее, - создаваемое пропускаемым током магнитное поле в каждой рассматриваемой точке будет обладать определенной индукцией B, как и величина магнитного потока Ф - тоже будет определенной на каждой из рассматриваемых площадок S.
Если попытаться объяснить совсем просто, то индукция показывает интенсивность магнитного действия (связанного ), которое способно оказать данное магнитное поле на проводник с током, в это поле помещенный, а магнитный поток обозначает то, как распределена магнитная индукция по рассматриваемой поверхности. Таким образом, энергия магнитного поля катушки с током локализована не непосредственно в витках катушки, а в том объеме пространства, в котором существует магнитное поле, c током катушки связанное.
То, что магнитное поле катушки с током обладает реальной энергией, можно обнаружить экспериментально. Соберем схему, в которой параллельно катушке с железным сердечником подключим лампу накаливания. Подадим на катушку с лампочкой постоянное напряжение от источника питания. В цепи нагрузки тут же установится ток, он потечет через лампочку и через катушку. Ток через лампочку будет обратно пропорционален сопротивлению ее нити накала, а ток через катушку - обратно пропорционален сопротивлению провода, которым она намотана.
Ежели сейчас резко разомкнуть тумблер между источником питания и цепью нагрузки, то лампочка кратковременно но довольно заметно вспыхнет. Это значит, что когда мы отключили источник питания, ток из катушки устремился в лампу, а значит данный ток в катушке был, он имел вокруг себя магнитное поле, и в момент исчезновения магнитного поля в катушке возникла ЭДС.
Данная индуцированная ЭДС называется ЭДС самоиндукции, поскольку навелась она собственным магнитным полем катушки с током на саму эту катушку. Тепловое действие Q тока в данном случае можно выразить через произведение величин тока, который был установлен в катушке на момент размыкания тумблера, сопротивления R цепи (провода катушки и лампы) и продолжительности времени исчезновения тока t. Напряжение, которое возникло на сопротивлении цепи, можно выразить через индуктивность L, полное сопротивление цепи R, а также с учетом времени исчезновения тока dt.
Применим теперь выражение для энергии катушки W к частному случаю - к соленоиду с сердечником, обладающим определенной магнитной проницаемостью, отличной от магнитной проницаемости вакуума.
Для начала выразим магнитный поток Ф через площадь сечения S соленоида, количество витков N и магнитную индукцию B по всей его длине l. Распишем сначала индукцию B через ток витка I, число витков на единицу длины n, и магнитную проницаемость вакуума.
Подставим затем сюда объем соленоида V. Мы нашли формулу для магнитной энергии W, и имеем право взять отсюда величину w – объемную плотность магнитной энергии внутри соленоида.
Джеймс Клерк Максвелл в свое время показал, что выражение объемной плотности магнитной энергии справедливо , но и для магнитных полей вообще.
Индуктивность контура.
Рассмотрим замкнутый контур, по которому течёт ток . Он создает магнитное поле. Его величина пропорциональна току.
где - индуктивность контура. Единица измерения индуктивности - генри
Связь с другими единицами 
. Если в контуре изменяется ток, то изменится магнитное поле, создаваемое током. Следовательно, изменится магнитный поток, сцепленный с контуром. Согласно закону Фарадея, в контуре возникнет индуцированная ЭДС. Возникновение в контуре ЭДС при изменении в нем силы тока называется самоиндукцией
. Для примера найдем индуктивность соленоида. Мы нашли, что магнитный поток сквозь соленоид (потокосцепление) равен
(2)
Сравнивая Ур. (1) и (2) находим
.
В общем случае индуктивность контура зависит от его формы, размеров и магнитной проницаемости среды, в которой находится контур. Существует аналогия между индуктивностью (связывает ток и магнитный поток) и емкостью (связывает заряд и напряженность электрического поля).
Взаимная индукция.
Рассмотрим два неподвижных контура, расположенных близко друг к другу. По контуру 1 течет ток . Он создает магнитное поле , которое пронизывает контур 2. Магнитный поток через контур 2, который пропорционален току :
(1)
- коэффициент пропорциональности. Когда изменяется ток , изменяется магнитное поле и магнитный поток . Это ведет к появлению ЭДС во втором контуре.
.
По аналогии рассматривается случай, когда ток течет по второму контуру. Он создает магнитный поток, который пронизывает контур 1.
При изменении тока в контуре 1 индуцируется ЭДС
Опыт показывает, что . Явление возникновения ЭДС индукции в одном из контуров, когда в другом изменяется сила тока, называется взаимной индукцией . - взаимная индуктивность контуров. Она зависит от формы, размеров и расположения контуров, а также от - магнитной проницаемости среды.
Энергия магнитного поля.
Ранее нашли, что элементарная работа при перемещении проводника с током в магнитном поле равна: . Это выражение применим к контуру с током . Ток создает магнитное поле, оно пронизывает контур. Магнитный поток, сцепленный с контуром, . При изменении тока в контуре, изменяется и магнитный поток - . При этом совершается элементарная работа . Работа по созданию магнитного потока
.
Это есть энергия магнитного поля, связанного с контуром.
Рассмотрим соленоид. Используя выражение для индуктивности соленоида, выражая ток через индукцию магнитного поля и учитывая связь , можно получить выражение для полной энергии магнитного поля соленоида.
.
Объем соленоида. При этом учли, что магнитное поле внутри соленоида однородное. Тогда энергия магнитного поля единицы объема или плотность энергии магнитного поля равна:
.
Трансформатор
Явление взаимной индукции лежит в основе работы трансформаторов. Это приборы, предназначенные для понижения или повышения напряжения в сети. Схема прибора
Имеется две катушки, соединенные между собой магнитопроводом или общим сердечником. Число витков в первой и второй катушках равно и , соответственно. По одной из катушек пропускается переменный электрический ток. Этот ток создает магнитное поле, которое почти полностью сосредоточено в сердечнике. Оно пронизывает витки обмотки второй катушки. Если к обмотке катушки 1 подключен источник с ЭДС , тогда ток в обмотке определяется согласно закону Ома с учетом ЭДС самоиндукции
